Question

（2009•楊浦區(qū)一模）如圖，過(guò)圓錐軸的截面為等腰直角三角形SAB，Q為底面圓周上一點(diǎn)，已知BQ=2

3

，圓錐體積為

8

3

π，點(diǎn)O為底面圓的圓心．
（1）．求該圓錐的側(cè)面積；
（2）．設(shè)異面直線SA與BQ所成角的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)底面圓的半徑為R，則高R=SO，利用體積公式求出R，再求出側(cè)面積．
（2）連接QO并延長(zhǎng)交圓周于C點(diǎn)，再連接AC，AQ，BC，SC，則AO=BO=QO=OC，所以 四邊形AQBC是平行四邊形，AC∥QB，∠SAC的大小為異面直線SA與BQ所成角θ的大小．

解答：解（1）設(shè)底面圓的半徑為R，則由題意得R=SO，----（1分）
∵

1

3

πR2R=

8

3

π，∴R=2----------------（3分）
母線的長(zhǎng)為SA=

R2+R2

=2

2

，-------------（4分）
所以，圓錐的側(cè)面積為πR•SA=4

2

π-------------（6分）
（2）連接QO并延長(zhǎng)交圓周于C點(diǎn)，
 再連接AC，AQ，BC，SC，------（7分）
則AO=BO=QO=OC，所以 四邊形AQBC是平行四邊形，AC∥QB，
∠SAC的大小為異面直線SA與BQ所成角θ的大小-----（10分）
由（1）知，在△SAC中，SA=SC=2

2

，AC=QB=2

3

，------------------（11分）
過(guò)點(diǎn)S作SH⊥AC于點(diǎn)H，
則tanθ=

SH

AH

=

SA2-AH2

AH

=

5

3

=

15

3

，∴θ=arctan

15

3

---------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間角，圓錐體積，側(cè)面積計(jì)算，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問(wèn)題能力．空間問(wèn)題平面化是解決空間幾何體問(wèn)題最主要的思想方法．