Question

（2010•福建模擬）某運(yùn)動項目設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有K和D兩個動作．比賽時每位運(yùn)動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運(yùn)動員的成績．假設(shè)每個運(yùn)動員完成每個系列的兩個動作的得分是相互獨(dú)立的．根據(jù)賽前訓(xùn)練的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某運(yùn)動員完成甲系列和乙系列動作的情況如下表：
表1：甲系列

動作	K動作		D動作
得分	100	80	40	1-
概率	3 4	1 4	3 4	1 4

表2：乙系列

動作	K動作		D動作
得分	90	50	20	0
概率	9 10	1 10	9 10	1 10

現(xiàn)該運(yùn)動員最后一個出場，之前其他運(yùn)動員的最高得分為115分
（Ⅰ）若該運(yùn)動員希望獲得該項目的第一名，應(yīng)選擇哪個系列？說明理由，并求其獲得第一名的概率；
（Ⅱ）若該運(yùn)動員選擇乙系列，求其成績ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）若運(yùn)動員希望獲得該項目的第一名，應(yīng)選擇甲系列，選擇甲系列最高得分為100+40=140＞115，可能獲得第一名；
而選擇乙系列最高得分為90+20=110＜115，不可能獲得第一名，記“該運(yùn)動員完成K動作得100分”為事件A，“該運(yùn)動員完成D動作得40分”為事件B，則P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，記“該運(yùn)動員獲得第一名”為事件C，根據(jù)P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）從而求出該運(yùn)動員得第一名的概率；
（II）若該運(yùn)動員選擇乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（I）若運(yùn)動員希望獲得該項目的第一名，應(yīng)選擇甲系列
理由如下：
選擇甲系列最高得分為100+40=140＞115，可能獲得第一名；
而選擇乙系列最高得分為90+20=110＜115，不可能獲得第一名．
記“該運(yùn)動員完成K動作得100分”為事件A，“該運(yùn)動員完成D動作得40分”為事件B，
則P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

記“該運(yùn)動員獲得第一名”為事件C．
依題意得P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）=

3

4

×

3

4

+

1

4

×

3

4

=

3

4

∴該運(yùn)動員得第一名的概率為

3

4

．
（II）若該運(yùn)動員選擇乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，
則P（ξ=50）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，P（ξ=70）=

1

10

×

9

10

=

9

100

，
P（ξ=90）=

9

10

×

1

10

=

9

100

，P（ξ=110）=

9

10

×

9

10

=

81

100

，
ξ的分布列為

ξ	50	70	90	110
P	1 100	9 100	9 100	81 100

∴Eξ=50×

1

100

+70×

9

100

+90×

9

100

+110×

81

100

=104

點(diǎn)評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望和分布列，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．