Question

已知數(shù)列{a_n}為遞減的等差數(shù)列，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁a₄=27，S₄=24．
（1）求數(shù)列{|a_n|}的前n（n≥6）項(xiàng)和S′_n；
（2）令bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}為遞減的等差數(shù)列，且S₄=24，S₄=

4(a1+a4)

2

=24，知a₁+a₄=12，由a₁a₄=27，d＜0，知a₁=9，a₄=3，d=-2，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n（n≥6）項(xiàng)和S′_n．
（2）由bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-11

-

1

2n-9

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}為遞減的等差數(shù)列，且S₄=24，
∴S₄=

4(a1+a4)

2

=24，
∴a₁+a₄=12，
又∵a₁a₄=27，d＜0，
∴a₁=9，a₄=3，d=-2，
∴a_n=-2n+11，
∴a₅＞0，a₆＜0，
∴當(dāng)n＞6時(shí)，Sn′=2S₅-S_n=n²-10n+50．
（2）∵a_n=-2n+11，
bn=

1

anan+1

=

1

(-2n+11)(-2n+9)

=

1

(2n-11)(2n-9)

=

1

2

(

1

2n-11

-

1

2n-9

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和
T_n=

1

2

[（

1

-9

-

1

-7

）+（

1

-7

-

1

-5

）+…+（

1

2n-11

-

1

2n-9

）]
=-

1

2

（

1

9

+

1

2n-9

）
=

n

81-18n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．