Question

已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（-1，0）和（1，0），離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)P（

1

2

，0），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由條件知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c=1，由離心率e=

2

2

，求出a，再根據(jù)b²=a²-c²，求出b，從而寫出橢圓方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線l和橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理得到m²＜1+2k²，x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，再根據(jù)l經(jīng)過(guò)中點(diǎn)D，求出D的坐標(biāo)，設(shè)出中垂線方程，代入D的坐標(biāo)，再結(jié)合m²＜1+2k²，解不等式即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知橢圓的焦點(diǎn)x軸上，c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b²=a²-c²=1，
∴橢圓E的方程為：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，可得m²＜1+2k²，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，∴AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀=

-2km

1+2k2

，
AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₀=kx₀+m=

m

1+2k2

，∴AB的中點(diǎn)D（-

2km

1+2k2

，

m

1+2k2

），
設(shè)AB中垂線l′的方程為：y=-

1

k

（x-

1

2

），
∵D在l'上，∴D點(diǎn)坐標(biāo)代入l′的方程可得，m=

-1-2k2

2k

，
將m²＜1+2k²代入解得，k＞

2

2

或k＜-

2

2

，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)：離心率，同時(shí)考查直線與橢圓相交的位置關(guān)系，注意聯(lián)立方程，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理，注意判別式必須大于0．