Question

某企業(yè)在減員增效活動(dòng)中對(duì)部分員工實(shí)行強(qiáng)制下崗，規(guī)定下崗員工在第一年可領(lǐng)取在職員工收入百分之百，之后每年所領(lǐng)取的比例只有去年的，根據(jù)企業(yè)規(guī)劃師預(yù)測(cè)，減員之后，該企業(yè)的利潤增加可使得在職員工的收入得到提高，若當(dāng)年的年收入a萬元，之后每年將增長ka萬元．
（1）當(dāng)k=時(shí)，到第n年下崗員工可從該企業(yè)獲得總收入為多少？
（2）某位下崗員工恰好在第m年在該企業(yè)所得比去年少，求m的最大值及此時(shí)k的取值范圍？

Answer 1

解：（1）設(shè)下崗員工第n年從該企業(yè)收入為a_n萬元，則據(jù)題意a_n=（）^n-1[1+（n-1）]a …（2分）
設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n=[1++…+（）^n-1]a+[+…+（n-1）（）^n-1]a
由錯(cuò)位相減法可得：S_n=[6-（n+6）（）ⁿ]a
∴到第n年下崗員工可從該企業(yè)獲得收入[6-（n+6）（）ⁿ]a萬元．（5分）
（2）令b_n=a_n+1-a_n=（）ⁿ[1+nk]a-（）^n-1[1+（n-1）k]a=[（3-n）k-1]a（7分）
據(jù)題意
當(dāng)n＜m-1時(shí)，b_n≥0，即（3-n）k-1≥0；①
當(dāng)n=m-1時(shí)，b_n＜0，即（4-m）k-1＜0； ②（10分）
當(dāng)m≥4時(shí)，②式總成立，即從第4年開始下崗員工總是從該企業(yè)所得變少；
∴m_最大值=4； （12分）
將m=4代入①式得n＜3時(shí)，（3-n）k-1≥0恒成立；∵k＞0
∴[（3-n）k-1]_最小值=k-1≥0
∴k≥1
∴m的最大值為4，此時(shí) k≥1．…（14分）
分析：（1）先求出下崗員工第n年從該企業(yè)收入，再利用錯(cuò)位相減法求和，即可得到結(jié)論；
（2）b_n=a_n+1-a_n，利用某位下崗員工恰好在第m年在該企業(yè)所得比去年少，建立不等式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．