Question

17．已知函數(shù)g（x）=ax+1，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，0≤x≤2}\\{-{x}^{2}，-2≤x＜0}\end{array}\right.$  對(duì)?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，0≤x≤2}\\{-{x}^{2}，-2≤x＜0}\end{array}\right.$的圖象如圖：
則當(dāng)x∈[-2，2]，f（x）的最大值為f（2）=3，最小值f（-2）=-4，
若a=0，g（x）=1，此時(shí)滿足?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，
使g（x₁）=f（x₂）成立，
若a≠0，則直線g（x）過定點(diǎn)B（0，1），
若a＞0，要使對(duì)?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，
使g（x₁）=f（x₂）成立，
則滿足g（x）_max≤f（x）_max，且g（x）_min≥f（x）_min，
即2a+1≤3且-2a+1≥-4，
即a≤1且a≤$\frac{5}{2}$，
此時(shí)滿足0＜a≤1，
若a＜0，要使對(duì)?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，
則滿足g（x）_max≤f（x）_max，且g（x）_min≥f（x）_min，
即-2a+1≤3且2a+1≥-4，
即a≥-1且a≥-$\frac{5}{2}$，
此時(shí)滿足-1≤a＜1，
綜上-1≤a≤1，
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，本題主要考查的是最值之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．