Question

已知a，b是不相等的正數(shù)，在a，b之間分別插入m個正數(shù)a₁，a₂，…，a_m和正數(shù)b₁，b₂，…，b_m，使a，a₁，a₂，…，a_m，b是等差數(shù)列，a，b₁，b₂，…，b_m，b是等比數(shù)列．
（1）若m=5，

a3

b3

=

5

4

，求

b

a

的值；
（2）若b=λa（λ∈N^*，λ≥2），如果存在n （n∈N^*，6≤n≤m）使得a_n-5=b_n，求λ的最小值及此時m的值；
（3）求證：a_n＞b_n（n∈N^*，n≤m）．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）用a，b表示出d，q，利用

a3

b3

=

5

4

，即可求

b

a

的值；
（2）確定bn=a•λ

n

m+1

，利用a_n-5=b_n，可得1+

(λ-1)(n-5)

m+1

為有理數(shù)，分類討論，即可求λ的最小值及此時m的值；
（3）設(shè)c_n＞0，S_n為數(shù)列{c_n}的前n項的和．先證：若{c_n}為遞增數(shù)列，則{

Sn

n

}為遞增數(shù)列．若{c_n}為遞減數(shù)列，則{

Sn

n

}為遞減數(shù)列，再分類討論，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則d=

b-a

6

，q=

6	b a

．
所以a₃=a+3d=

a+b

2

，b₃=aq³=

ab

．                  …（2分）
因為

a3

b3

=

5

4

，所以2a-5

ab

+2b=0，解得

b

a

=4或

1

4

．  …（4分）
（2）解：因為λa=a+（m+1）d，所以d=

λ-1

m+1

a，從而得a_n=a+

λ-1

m+1

a×n．
因為λa=aq^m+1，所以q=λ

1

m+1

，
從而得bn=a•λ

n

m+1

．
因為a_n-5=b_n，所以a+

(λ-1)(n-5)

m+1

×a=a×λ

n

m+1

因為a＞0，所以1+

(λ-1)(n-5)

m+1

=λ

n

m+1

（*）．        …（6分）
因為λ，m，n∈N^*，所以1+

(λ-1)(n-5)

m+1

為有理數(shù)．
要使（*）成立，則λ

n

m+1

必須為有理數(shù)．
因為n≤m，所以n＜m+1．
若λ=2，則λ

n

m+1

為無理數(shù)，不滿足條件．
同理，λ=3不滿足條件．                          …（8分）
當(dāng)λ=4時，4

n

m+1

=2

2n

m+1

．要使2

2n

m+1

為有理數(shù)，則

2n

m+1

必須為整數(shù)．
又因為n≤m，所以僅有2n=m+1滿足條件．
所以1+

3(n-5)

m+1

=2，從而解得n=15，m=29．
綜上，λ最小值為4，此時m為29．               …（10分）
（3）證明：設(shè)c_n＞0，S_n為數(shù)列{c_n}的前n項的和．
先證：若{c_n}為遞增數(shù)列，則{

Sn

n

}為遞增數(shù)列．
證明：當(dāng)n∈N^*時，

Sn

n

＜c_n+1．
因為S_n+1=S_n+c_n+1＞S_n+

Sn

n

=

n+1

n

S_n，所以

Sn

n

＜

Sn+1

n+1

，即數(shù)列{

Sn

n

}為遞增數(shù)列．
同理可證，若{c_n}為遞減數(shù)列，則{

Sn

n

}為遞減數(shù)列．   …（12分）
①當(dāng)b＞a時，q＞1．當(dāng)n∈N^*，n≤m時，

Sm+1

m+1

＞

Sn

n

．
即

aqm+1-a

m+1

＞

aqn-a

n

．
因為b=aq^m+1，b_n=aqⁿ，d=

b-a

m+1

，
所以d＞

bn-a

n

，即a+nd＞b_n，即a_n＞b_n．
②當(dāng)b＜a時，0＜q＜1，當(dāng)n∈N^*，n≤m時，

Sm+1

m+1

＜

Sn

n

．
即

aq(qm+1-1) q-1

m+1

＜

aq(qn-1) q-1

n

．
因為0＜q＜1，所以

aqm+1-a

m+1

＞

aqn-a

n

．以下同①．
綜上，a_n＞b_n（n∈N^*，n≤m）．                     …（16分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)論知識，考查分類討論，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．