Question

已知函數(shù)（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：對(duì)大于1的任意正整數(shù)n，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)則f'（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，建立關(guān)系式，解之即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)整理后，根據(jù)a小于0和a大于0，分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）先研究函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，令x=，易得＞，然后利用lnn＞++…+ln即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）∵∴f'（x）=（a＞0）…1
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)∴f'（x）=≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，即a≥對(duì)x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分）
（2）∵a≠0，
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）…5
當(dāng)a＞0時(shí)，，
∴f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（）…6
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f'（x）=，故f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（）=+=-+＞0，即＞
∴l(xiāng)nn＞++…+ln＞+++…+
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性證明不等式，是一道綜合題．