Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，BC=CD=

1

2

AB=2，G為線段AB的中點(diǎn)，將△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到幾何體A-BCDG．
（1）若E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABG；
（2）求三棱錐C-ABD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）先證明AG⊥底面BCD，再利用V_{三棱錐C-ABD}=V_{三棱錐A-BCD}即可求出．

解答：解（1）∵折疊前后CD、BG的位置關(guān)系不變，∴CD∥BG．
∵在△ACD中，E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，∴EF∥CD．
∴EF∥BG．
又∵EF?平面ABG，BG?平面ABG，
∴EF∥平面ABG．
（2）∵BC=CD=

1

2

AB=2，G為線段AB的中點(diǎn)，∴CD=BG，
又∵∠B=90°，CD∥BG，∴四邊形BCDG是一個(gè)正方形，∴BG⊥DG，AG⊥DG，
折疊后仍然成立，
∵平面ADG⊥平面BCDG，∴AG⊥平面BCDG．
∴V_{三棱錐C-ABD}=V_{三棱錐A-BCD}=

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3

AG×S△BCD=

1

3

×2×

1

2

×2×2=

4

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理及面面、線面垂直的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．