Question

10．已知經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于點(diǎn)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），若x₁+x₂=12，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)的方程可得出焦點(diǎn)F（4，0），從而可判斷直線(xiàn)AB存在斜率，設(shè)斜率為k，從而可寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-4），聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程便可得出（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，由韋達(dá)定理便可得出${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{{k}^{2}-3}=12$，從而可以求出k²，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據(jù)弦長(zhǎng)公式便可求出AB的長(zhǎng)．

解答 解：根據(jù)雙曲線(xiàn)方程知c=4；
∵x₁+x₂=12≠8；
∴直線(xiàn)AB存在斜率，設(shè)為k，F(xiàn)（4，0）；
∴直線(xiàn)AB的方程為：y=k（x-4），帶入雙曲線(xiàn)方程消去y并整理得：
（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{{k}^{2}-3}=12$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}+12}{{k}^{2}-3}$；
解得k²=9，x₁x₂=26；
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{10}•\sqrt{1{2}^{2}-4•26}=20$．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，對(duì)于雙曲線(xiàn)c²=a²+b²，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，以及韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式．