Question

已知線段PQ過(guò)△OAB的重心G，且P、Q分別在OA、OB上，設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OP

=m

a

，

OQ

=n

b

，求證：

1

m

+

1

n

=3．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由三點(diǎn)P，G，Q共線，可得

OG

=λ

OP

+(1-λ)

OQ

，由重心性質(zhì)定理可得：

OG

=

2

3

OD

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

(

a

+

b

)，再利用向量基本定理即可得出．

解答： 證明：如圖所示，
∵三點(diǎn)P，G，Q共線，
∴

OG

=λ

OP

+(1-λ)

OQ

=λm

a

+(1-λ)n

b

，
由重心性質(zhì)定理可得：

OG

=

2

3

OD

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

(

a

+

b

)，
∴

1

3

a

+

1

3

b

=λm

a

+(1-λ)n

b

，
∴

λm= 1 3 (1-λ)n= 1 3

，
∴

1

m

+

1

n

=3λ+3（1-λ）=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、重心性質(zhì)定理、向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．