已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F(1,0).
(1)若橢圓的離心率e=
1
3
,求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點F的直線l交橢圓于C、D兩點,若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動時恒有
OC
OD
<0,其中O坐標(biāo)原點,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已知得
c=1
e=
c
a
=
1
3
a2=b2+c2
,由此能求出橢圓方程.
(2)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1轉(zhuǎn)化為
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
,a>1,當(dāng)直線l的斜率不存在時,
OC
OD
=(1,
a2-1
a
)•(1,-
a2-1
a
)=1-
(a2-1)2
a2
<0,解得a>1.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=k(x-1),聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
,得(a2+a2k2-1)x2-2a2k2x+a2k2-a4+a2=0,由此利用韋達定理得推導(dǎo)出a>1.由此能求出a的取值范圍是(1,+∞).
解答: 解:(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F(1,0).
橢圓的離心率e=
1
3
,
c=1
e=
c
a
=
1
3
a2=b2+c2
,解得a=3,b2=9-1=8,
∴橢圓方程為
x2
9
+
y2
8
=1

(2)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1轉(zhuǎn)化為
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
,a>1,
當(dāng)直線l的斜率不存在時,l的方程為x=1,得C(1,
a2-1
a
),D(1,-
a2-1
a
),
OC
OD
=(1,
a2-1
a
)•(1,-
a2-1
a
)=1-
(a2-1)2
a2
<0,
整理,得a2-a-1>0.由a>1,解得a>1.
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=k(x-1),
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
,得(a2+a2k2-1)x2-2a2k2x+a2k2-a4+a2=0,
∵∵過點F的直線l交橢圓于C、D兩點,∴a2+k2-1≠0且△>0,
∴△=(-2a2k22-4(a2+a2k2-1)(a2k2-a4+a2)>0,

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
x1+x2=
2a2k2
a2+a2k2-1
,x1x2 =
a2k2-a4+a2
a2+a2k2-1
,
y1y2=k(x1-1)•k(x2-1)=k2x1x2-k2(x1+x2)+k2,
OC
OD
<0,
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2<0,
(k2+1)(a2+a2k2-a4)-2k4a2+k2(a2+a2k2-1)
a2+a2k2-1

=
a2-a4-k2(a4-3a2+1)
a2(k2+1)-1
<0,
∵a2-1>0,∴a2(k2+1)-1>0,
∴a2-a4-k2(a4-3a2+1)<0,
∴(1+3k2)a2-(1+k2)a4-k2<0,
a4-a2+1-
2k2a2+1
1+k2
>0

∴a4-a2>0,
∴a2>1,解得a>1或a<-1(舍).
綜上所述,a的取值范圍是(1,+∞).
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓中參數(shù)的取值范圍的求法,解題要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)和韋達定理、向量知識的合理運用.
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1
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9
4

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B、y=0.5x    y=0.8x
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