橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),M是橢圓上的一點(diǎn),且滿足
(1)求離心率的取值范圍;
(2)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí),點(diǎn)N(0,3)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為
①求此時(shí)橢圓G的方程;
②設(shè)斜率為k(k≠0)的直線L與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B,Q為AB的中點(diǎn),問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)、Q的直線對(duì)稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn),
(1)我們?cè)O(shè)M(x,y),則易得向量的坐標(biāo),由,結(jié)合向量垂直的充要條件,我們即可得到x,y的關(guān)系式,又由M又在橢圓上,代入橢圓方程即可得到離心率的取值范圍.
(2)①由(1)的結(jié)論,我們易得到離心率e取得最小值時(shí)的橢圓方程(含參數(shù)),再點(diǎn)N(0,3)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,我們易得到關(guān)于參數(shù)的方程,解方程即可得到橢圓的方程.②設(shè)出未知直線的方程,然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程,得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,然后使用“設(shè)而不求”的方法,結(jié)合韋達(dá)定理及A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)、Q的直線對(duì)稱構(gòu)造不等式組,解不等式組即可得到k的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),則
(1分)
又M在橢圓上,∴(2分)
,(3分)
又0≤x2≤a2,(4分)
∵0<e<1,∴(5分)
(2)①當(dāng)時(shí)得橢圓為
設(shè)H(x,y)是橢圓上一點(diǎn),
則|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18,(-b≤y≤b)
(6分)
設(shè)0<b<3,則-3<-b<0,當(dāng)y=-b時(shí),|HN|max2=b2+6b+9,,由題意得b2+6b+9=50
,與0<b<3矛盾,(7分)
設(shè)b≥3得-b≤-3,當(dāng)y=-3時(shí),|HN|max2=2b2+18,,由2b2+18=50得b2=16,(合題薏)
∴橢圓方程是:(8分)
②.設(shè)l:y=kx+m由
而△>0⇒m2<32k2+16(9分)
又A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)、Q的直線對(duì)稱
,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則(10分)
(11分)
(10分)
又k≠0,∴(11分)
∴需求的k的取值范圍是(12分)
點(diǎn)評(píng):在處理直線與圓錐曲線的關(guān)系類問題時(shí),我們的使用的方法及思路一般有:①聯(lián)立方程;②設(shè)而不求;③韋達(dá)定理;④弦長(zhǎng)公式等.
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橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為A,且三角形F1AF2是頂角為120°的等腰三角形形,則此橢圓的離心率為
 

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已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-
5
,0)
,F2(
5
,0)
,M是橢圓上一點(diǎn),若
MF1
MF2
=0
,|
MF1
|•|
MF2
|=8
,則該橢圓的方程是(  )

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已知M為橢圓上的一點(diǎn),橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦距為6,點(diǎn)I為△MF1F2的內(nèi)心,延長(zhǎng)線段MI交線段F1F2于N,則
MI
IN
的值為( 。

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已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,橢圓上一點(diǎn)滿足

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓恒有兩上不同的交點(diǎn)A、B,且(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的范圍。

 

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