【題目】已知直線:
和圓
:
.
(1)求證:直線恒過一定點
;
(2)試求當(dāng)為何值時,直線
被圓
所截得的弦長最短;
(3)在(2)的前提下,直線是過點
,且與直線
平行的直線,求圓心在直線
上,且與圓
相外切的動圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1); (2)
;(3)
.
【解析】
(1)通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系,求出直線恒過的定點;
(2)當(dāng)直線與
垂直時,所截得的弦長最短,此時有
=-1,由此能出m的值;
(3)由(2)得直線的方程為
,可判斷出直線
與圓
相離,設(shè)動圓圓心為
,當(dāng)圓心
到圓心
的距離最小時,動圓
的半徑最小,從而得到最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)證明:直線的方程可化為:
.
解方程組,得
.
所以,直線恒過定點
.
(2)解:圓:
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,
表示以為圓心,
為半徑的圓,
,
,
∴在圓
內(nèi),那么對任意
都有直線
與圓
相交.
當(dāng)直線與
垂直時,所截弦長最短.
又直線的斜率
,∴此時直線
的斜率為
.
即,解得
.
(3)解:由(2)得直線的斜率為
,又∵
,
∴直線的方程為
,即
.
又圓心到直線
的距離
,所以直線
與圓
相離.
設(shè)動圓圓心為,當(dāng)圓心
到圓心
的距離最小時,動圓
的半徑最小,
此時圓心為過點
且與
垂直的直線與
的交點,且動圓半徑的最小值為
.
又過點與
垂直的直線方程為
,即
.
解方程組,得
.
即圓心為
.
∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對稱,證明當(dāng)
時,
;
(3)如果,且
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓
的方程為
,
點的坐標(biāo)為
.
(1)求過點且與圓
相切的直線方程;
(2)過點任作一條直線
與圓
交于不同兩點
,
,且圓
交
軸正半軸于點
,求證:直線
與
的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《城市規(guī)劃管理意見》里面提出“新建住宅要推廣街區(qū)制,原則上不再建設(shè)封閉住宅小區(qū),已建成的封閉小區(qū)和單位大院要逐步打開”,這個消息在網(wǎng)上一石激起千層浪,各種說法不一而足.某網(wǎng)站為了解居民對“開放小區(qū)”認(rèn)同與否,從歲的人群中隨機(jī)抽取了
人進(jìn)行問卷調(diào)查,并且做出了各個年齡段的頻率分布直方圖(部分)如圖所示,同時對
人對這“開放小區(qū)”認(rèn)同情況進(jìn)行統(tǒng)計得到下表:
(Ⅰ)完成所給的頻率分布直方圖,并求的值;
(Ⅱ)如果從兩個年齡段中的“認(rèn)同”人群中,按分層抽樣的方法抽取6人參與座談會,然后從這6人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步調(diào)查,求這2人的年齡都在
內(nèi)的概率 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等差數(shù)列,偶數(shù)項成等比數(shù)列,且公差和公比都是2,若對滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m,n,均有am+an=am+n成立. (I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)若bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義區(qū)間[x1 , x2]長度為x2﹣x1(x2>x1),已知函數(shù)f(x)= (a∈R,a≠0)的定義域與值域都是[m,n],則區(qū)間[m,n]取最大長度時a的值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M是棱SB的中點. (Ⅰ)求證:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點N是直線CD上的動點,MN與面SAB所成的角為θ,求sinθ的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (b∈R).若存在x∈[
,2],使得f(x)+xf′(x)>0,則實數(shù) b的取值范圍是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣∞,3)
D.(﹣∞, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一數(shù)學(xué)研究小組測量學(xué)校的一座教學(xué)樓AB的高度已知測角儀器距離地面的高度為h米,現(xiàn)有兩種測量方法:
方法如圖
用測角儀器,對準(zhǔn)教學(xué)樓的頂部A,計算并記錄仰角
;
后退a米,重復(fù)
中的操作,計算并記錄仰角
.
方法如圖
用測角儀器,對準(zhǔn)教學(xué)樓的頂部A底部B,測出教學(xué)樓的視角
,測試點與教學(xué)樓的水平距離b米.
請你回答下列問題:
用數(shù)據(jù)
,
,a,h表示出教學(xué)樓AB的高度;
按照方法II,用數(shù)據(jù)
,b,h表示出教學(xué)樓AB的高度.
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