Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設.如果對任意，，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在單調(diào)增加，在單調(diào)減少

（Ⅱ）（-∞，-].

【解析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和，求出單調(diào)區(qū)間．（2）根據(jù)第一問的單調(diào)性先對|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|進行化簡整理，轉化成研究g（x）=f（x）+2x在（0，+∞）單調(diào)減函數(shù)，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．

解：（Ⅰ）的定義域為（0，+∞）. .

當時，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；

當時，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；

當-1＜＜0時，令=0，解得.

則當時，＞0；時，＜0.

故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.

（Ⅱ）不妨假設，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而

，

等價于

，           ①

令，則

①等價于在（0，+∞）單調(diào)減少，即

從而，令，，則

故a的取值范圍為（-∞，-].