Question

已知過點（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），計算

1

y1

+

1

y2

的值，由此歸納一條與拋物線有關(guān)的性質(zhì)，使得上述計算結(jié)果是性質(zhì)的一個特例：
過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

 

；
過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

 

；
過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

 

．

Answer 1

分析：過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可令直線方程為y=kx+2，則易得聯(lián)立直線與拋物線的方程后，易得

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；然后根據(jù)歸納推理的辦法，由此推斷出過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時，滿足的性質(zhì)，及過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時，滿足的性質(zhì)．

解答：解：若過（0，2）的直線斜率不存在或k=0，則直線與拋物線只有一個交點不滿足要求；
若過（0，2）的直線斜率存在且不為0，則可設(shè)y=kx+2
（1）又因為A，B兩點是直線與拋物線y²=4x的交點，則

y=kx+2 y2=4x

即y2-

4

k

y+

8

k

=0
由韋達(dá)定理得：
y1+y2=

4

k

，且y1•y2=

8

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（2）又因為A，B兩點是直線與拋物線y²=2px（p＞0）的交點，則

y=kx+2 y2=2px

即y2-

2p

k

y+

4p

k

=0
由韋達(dá)定理得：
y1+y2=

2p

k

，且y1•y2=

4P

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（3）由此推斷：過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

b

故答案為：

1

y1

+

1

y2

=

1

2

，

1

y1

+

1

y2

=

1

2

，

1

y1

+

1

y2

=

1

b

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．