Question

10．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求證：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求三棱錐S-BDM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SA的中點(diǎn)G，連結(jié)NG，CG，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM證明平面NGC∥平面BDM．然后證明CN∥面BDM；
（Ⅱ）利用V_S-BDM=V_S-ABD-V_M-ABD，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：取SA的中點(diǎn)G，連結(jié)NG，CG，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，
由AM=1，可知：$\frac{SG}{GM}$=$\frac{SN}{ND}$=$\frac{2}{1}$，∴NG∥DM．

又NG?平面BDM，DM?平面BDM，∴NG∥平面BDM，
又因?yàn)镺，M分別AC，AG的中點(diǎn)，∴OM∥CG，CG?平面BDM，OM?平面BDM，∴CG∥平面BDM，NG∩CG=G，∴平面NGC∥平面BDM，∵CG?平面NGC，∴CN∥面BDM；
（Ⅱ）解：因?yàn)镾A⊥平面ABCD，AD=AB=4，∠BDA=120°，
所以V_S-BDM=V_S-ABD-V_M-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×sin120°×4-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×sin120°×1$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．