Question

.(本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=ln+mx2(m∈R)

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點(diǎn)，且a>b>0, 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求證：

(III)求證

 

Answer 1

【答案】

(1)

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2)構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性來(lái)證明不等式成立。

(3)在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s得到證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）f(x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041119194567181074/SYS201304111920342656769617_DA.files/image006.png">，

時(shí)，>0, 在上單調(diào)遞增；

時(shí)，<0, 在上單調(diào)遞減.

綜上所述：

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.…………3分

（Ⅱ）要證，只需證,令即證，

令，

因此得證.…………………6分

要證，只要證，

令，只要證，

令，

因此，

所以得證.………………9分

另一種的解法:

令=,,

則 ,

所以在單調(diào)遞增，

即得證.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知,（），則

所以.………………12分

考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定出最值，同時(shí)利用構(gòu)造函數(shù)的思想，分離參數(shù)來(lái)求解函數(shù)的最值，解決不等式的恒成立問(wèn)題，同時(shí)要對(duì)于不等式的證明，要采用適當(dāng)?shù)姆趴s來(lái)完成，屬于難度試題。