Question

（2013•江蘇一模）已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為邊作正△MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為

3

+1

．

Answer 1

分析：根據(jù)A是正三角形MF₁F₂的邊MF₁的中點(diǎn)，得到△AF₁F₂是直角三角形，設(shè)F₁F₂=2c，可得AF₁=c，AF₂=

3

c，最后根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|AF₁-AF₂|=（

3

-1）c，利用雙曲線的離心率的公式，可得該雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵線段F₁F₂為邊作正三角形△MF₁F₂
∴MF₁=F₁F₂=2c，（c是雙曲線的半焦距）
又∵M(jìn)F₁的中點(diǎn)A在雙曲線上，
∴Rt△AF₁F₂中，AF₁=c，AF₂=

F1F22-AF12

=

3

c，
根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|AF₁-AF₂|=（

3

-1）c，
∴雙曲線的離心率e=

2c

2a

=

2c

( 3-1 ) c

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線的焦距為邊長(zhǎng)的等邊三角形，其一邊中點(diǎn)在雙曲線上，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．