Question

已知函數(shù)f（x）=x•e^x，g（x）=-x²-2x+m．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）與g（x）的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，算出f'（x）=e^x（1+x），從而得到當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞-1時(shí)，f'（x）＞0．由此結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）得[f（x）]_min=-

1

e

．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，算出[g（x）]_max=m+1，結(jié)合題意得不等式m+1＞-

1

e

，解之可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x•e^x，
∴f'（x）=e^x+x•e^x=e^x（1+x）
令f'（x）=0，得x=-1
∵當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞-1時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由（1）得[f（x）]_min=f（-1）=-

1

e

∵二次函數(shù)g（x）=-x²-2x+m的圖象拋物線
關(guān)于x=-1對(duì)稱且開口向下
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，+∞）上為減函數(shù)
由此可得[g（x）]_max=g（-1）=m+1
∵當(dāng)f（x）的最小值小于g（x）的最大值時(shí)，f（x）與g（x）的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴m+1＞-

1

e

，得m＞-1-

1

e

，
由此可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1-

1

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)基本初等函數(shù)，研究它們的單調(diào)性并且討論函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)極值與最值和不等式恒成立等知識(shí)，屬于中檔題．