Question

首項(xiàng)為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知a₇=-2，S₅=30．
（1） 求a₁及d；
（2） 若數(shù)列{b_n}滿足a_n=（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡a₇=-2，S₅=30，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項(xiàng)和公差的值；
（2）由（1）中求出的首項(xiàng)和公差，寫出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入已知的等式，得到一個(gè)關(guān)系式，記作①，當(dāng)n等于1時(shí)，求出b₁，當(dāng)n大于等于2時(shí)，得到另一關(guān)系式，記作②，①-②即可求出b_n的通項(xiàng)公式，把n=1代入驗(yàn)證滿足，所以得到滿足題意的數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）由a₇=-2，S₅=30，又首項(xiàng)為a₁，公差為d，
得到：，解得：；
（2）由（1）求出的a₁=10，d=-2，得到a_n=10-2（n-1）=12-2n，
所以b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=n（12-2n）①，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=10；
當(dāng)n≥2時(shí)，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=（n-1）[12-2（n-1）]②，
①-②得：nb_n=n（12-2n）-（n-1）[12-2（n-1）]=14-4n，
當(dāng)n=1也成立，
∴b_n=-4（n∈N⁺）．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求值，會(huì)利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一道中檔題．