Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（Ⅰ）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x0 ， h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若 ＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∵ ，
∴
∵a＞2，∴ ，
令f′（x）＞0，即 ，
∵x＞0，∴0＜x＜1或 ，
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，1），
（Ⅱ）解法一：當a=4時，
所以在點P處的切線方程為
若函數 存在“類對稱點”P（x0 ， f（x0）），
則等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x），
當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立．
① 當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x）恒成立，
等價于 恒成立，
即當0＜x＜x0時， 恒成立，
令 ，則φ（x0）=0，…（7分）
要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）單調遞增即可．
又∵ ，
∴ ，即 ．
②當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立時， ．
∴ ．
所以y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ．
（Ⅱ）解法二：
猜想y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ．
下面加以證明：
當 時，
① 當 時，f（x）＜g（x）恒成立，
等價于 恒成立，
令
∵ ，∴函數φ（x）在 上單調遞增，
從而當 時， 恒成立，
即當 時，f（x）＜g（x）恒成立．
②同理當 時，f（x）＞g（x）恒成立．
綜上知y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，結合a的范圍求出函數的單調區(qū)間即可；（Ⅱ）法一：a=4時，求出f（x）的導數，得到切線方程根據新定義問題等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x），結合函數的單調性求出即可；
法二：猜想y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ，然后加以證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．