Question

已知函數f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）當a=-

1

4

時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導數，再令導數大于0求出單調增區(qū)間，導數小于0求出函數的減區(qū)間，再由極值的定義判斷出極值即可；
（2）若對于任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，則必有x≥0時，ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，即要求函數g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0）的最大值小于等于0即可．

解答：解：（1）a=-

1

4

時，f′(x)=

-(x+2)(x-1)

2(x+1)

，
∵x＞-1，∴f'（x）＞0時-1＜x＜1；f'（x）＜0時x＞1，
故函數f（x）在區(qū)間（-1，1）遞增，在區(qū)間（1，+∞）遞減
（2）由已知得x≥0時，ax²+ln（x+1）≤x恒成立，即x≥0時，ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立．
設g（x）=ax²+ln（x+1）-x，g′(x)=x•

2ax+2a-1

x+1

，
①a≤0時，∵x≥0，∴g'（x）≤0，g（x）在區(qū)間[0，+∞）遞減，∴x≥0時，g（x）≤g（0）=0，故a≤0；
②a＞0時，若g'（x）＞0，則x＞

1

2a

-1，函數g（x）在區(qū)間(

1

2a

-1，+∞)遞增，
若

1

2a

-1≤0，即a≥

1

2

時，g（x）在[0，+∞）遞增，則g（x）≥g（0）=0，矛盾，故舍去；
若

1

2a

-1＞0，即0＜a＜

1

2

時，g（x）在(0，

1

2a

-1)遞減，在(

1

2a

-1，+∞)遞增，且x→+∞時ax²-x+ln（x+1）→+∞，矛盾，故舍去．
綜上，若對任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，實數a的取值范圍為a≤0．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值以及由函數恒成立的問題求參數的取值范圍，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，對于函數的恒成立的問題求參數，要注意正確轉化，恰當的轉化可以大大降低解題難度．