設(shè)平面向量
a
=(
3
sin(π+x),2cosx)
,
b
=(-2cosx,cosx),已知函數(shù)f(x)=
a
b
+m在[0,
π
2
]
上的最大值為6.
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若f(x0)=
26
5
x0∈[
π
4
,
π
2
]
.求cos2x0的值.
分析:(Ⅰ)由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)=
a
b
+m的解析式為2sin(2x+
π
6
)+1+m
,結(jié)合x的范圍,根據(jù)f(x)的最大值為6,求得m的值.
(Ⅱ)根據(jù)f(x)的解析式,利用條件求得cos(2x0+
π
6
)=-
4
5
,再根據(jù)cos2x0=cos[(2x0+
π
6
)-
π
6
]
,利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果.
解答:解:(Ⅰ)由題意可得函數(shù)f(x)=
a
b
+m=
3
sin(π+x)•(-2cosx)+2cos2x+m

=
3
sin2x+cos2x+1+m
=2sin(2x+
π
6
)+1+m

x∈[0,
π
2
],2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
]
,
2sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
,∴f(x)max=2+1+m=6,
∴m=3.
(Ⅱ)因為f(x)=2sin(2x+
π
6
)+4
,
f(x0)=
26
5
得:2sin(2x0+
π
6
)+4=
26
5
,則sin(2x0+
π
6
)=
3
5

因為x0∈[
π
4
,
π
2
]
,則2x0+
π
6
∈[
3
6
]
,
因此cos(2x0+
π
6
)<0
,所以cos(2x0+
π
6
)=-
4
5
,
于是cos2x0=cos[(2x0+
π
6
)-
π
6
]
=cos(2x0+
π
6
)cos
π
6
+sin(2x0+
π
6
)sin
π
6
=-
4
5
×
3
2
+
3
5
×
1
2
=
3-4
3
10
點評:本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式,三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)平面向量
a
=(3,5),
b
=(-2,1)

(1)求|
a
-2
b
|
的值;
(2)若
c
=
a
-(
a
b
)
b
,求向量
c
b
的夾角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)平面向量
a
=(1,2),
b
=(-2,y),若
a
b
,則|3
a
+
b
|等于( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)平面向量 
a
=(-2,6),
b
=(3,y)
,若
a
b
,則
a
-2
b
=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)平面向量
a
=(-2,1),
b
=(1,λ),若
a
b
的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是
(-∞,-
1
2
)∪(-
1
2
,2)
(-∞,-
1
2
)∪(-
1
2
,2)

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