Question

已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）比較的大小（n∈N*且n≥2，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
∵函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴
①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，由f'（x）＜0得，由f'（x）＞0得x＞，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)；函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立
令，只需g（x）在區(qū)間上的最小值g（x）_min＞a
即可求導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時，g'（x）＞0，g（x）在上單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜x＜2時，g'（x），＜0，g（x）在（1，2）上單調(diào)遞減
∴g（x）在區(qū)間上的最小值是與g（2）中的較小者
∵．
∴
∴
∴g（x）在區(qū)間上的最小值是
∴a＜2﹣2ln2∴實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，2﹣2ln2）；
（Ⅲ），證明如下：
據(jù)（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值
∴f（x）=x﹣1﹣lnx≥f（1）=0，
∴l(xiāng)nx≤x﹣1
故當(dāng)n∈N*且n≥2時，
                                 =
∵
∴＜
∴
∴