Question

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．
（1）求拋物線的方程；
（2） 設(shè)點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

Answer 1

（1）;（2）

試題分析：（1）由于點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，假設(shè)點，再通過，可得一個關(guān)于與的關(guān)系式，在結(jié)合拋物線方程即可求出．從而求得拋物線的方程．
（2）因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)．所以假設(shè)直線PA，聯(lián)立拋物線方程即可得到點A的坐標，類比地求出點B的坐標．結(jié)合韋達定理，可以得到直線AB的斜率為定值-1．通過假設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，應(yīng)用點到直線的距離，即可表示三角形的面積．再通過求最值即能到結(jié)論．
（1）設(shè)，因為，由拋物線的定義得，又，所以，
因此，解得，從而拋物線的方程為．
（2）由（1）知點的坐標為，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)
設(shè)直線的斜率為，則，由題意，
把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，
由韋達定理得，即，同理，
所以，
設(shè)，把代入拋物線方程得，
由題意，且，從而
又，所以，點到的距離，
因此，設(shè)，
則，
由知，所以在上為增函數(shù)，因此，
即面積的最大值為．
的面積取最大值時，所以直線的方程為．