Question

等差數(shù)列{a_n}不是常數(shù)列，且a₁=1，若a₁，a₃，a₉構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{an•2an}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₃，a₉構(gòu)成等比數(shù)列，求出等差數(shù)列的公差，從而寫出通項(xiàng)公式；
（2）把通項(xiàng)公式代入an•2an，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an•2an}前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₃，a₉構(gòu)成等比數(shù)列，得a1a9=a32，即1×（1+8d）=（1+2d）²，解得d=1，或d=0（舍去），
∴d=1，所以a_n=n．
（2）設(shè)數(shù)列{an•2an}前n項(xiàng)和為s_n，則
sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n
兩邊同乘以2得2sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1
兩式相減得sn=n•2n+1-（2¹+2²+…+2ⁿ）=（n-1）2^n-1+2．

點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)等差和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用方法是錯(cuò)位相減法，注意錯(cuò)位相減法的解題技巧是把第一個(gè)和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，特別注意相減后最后一項(xiàng)的符號(hào)．