Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝AA₁＝3a．BC＝2a，D是BC的中點(diǎn)，E是CC₁上的點(diǎn)，且CE＝2a．

(Ⅰ)求證：B₁E⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角D－AE－C的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，又ABC－是直三棱柱， 　　∴面⊥面ABC　∴AD⊥面　　2分 　　∴AD⊥，由Rt△DCE≌Rt△ 　　∴∠DEC＋∠＝90°　即⊥DE　　4分 　　∴⊥平面ADE　　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥平面　∴平面ADE⊥平面 　　作CH⊥DE于H，則CH⊥平面ADE，作HF⊥AE于F，連CF， 　　則CF⊥AE　∴∠CFH是二面角D－AE－C的平面角　　8分 　　在Rt△CDE中，CH＝　　10分， 　　在Rt△ACE中， 　　CF＝，在Rt△CHF中， 　　sin∠CFH＝，即二面角D－AE－C的正弦值為　　12分