設函數(shù)f(x)=
1
a-2
(x-2),(x≥a)
1
a-3
(x-3),(x<a)
,已知存在t1,t2使得f(t1)=
1
2
f(t2)=
5
2
,則t1-t2的取值范圍是
(
3
2
,+∞)∪(-∞,-
3
2
)
(
3
2
,+∞)∪(-∞,-
3
2
)
分析:分a<2,a>3,2<a<3三種情況進行討論:根據(jù)圖象的特殊點可作出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象及函數(shù)單調性可表示出f(t1)=
1
2
,f(t2)=
5
2
,由此可得t1-t2的取值范圍.
解答:解:(1)當a<2時,作出f(x)的圖象如圖所示:
由圖象知,f(t1)=
1
2
可化為
t1-2
a-2
=
1
2
,得t1=
1
2
(a-2)+2
=
1
2
a
+1,f(t2)=
5
2
可化為
t2-3
a-3
=
5
2
,得t2=
5
2
(a-3)+3
=
5
2
a-
9
2
,
∴t1-t2=(
1
2
a
+1)-(
5
2
a-
9
2
)=-2a+
11
2
,
又a<2,∴-2a>-4,∴-2a+
11
2
>-4+
11
2
=
3
2
,即t1-t2
3
2
;
(2)當a>3時,作出f(x)的圖象如圖所示:
由圖象知,
t1-3
a-3
=
1
2
,得t1=
1
2
(a-3)+3
=
1
2
a
+
3
2
,f(t2)=
5
2
可化為5
t2-2
a-2
=
5
2
,得t2=
5
2
(a-2)+2
=
5
2
a-
3,
∴t1-t2=(
1
2
a
+
3
2
)-(
5
2
a-
3)=-2a+
9
2
,
又a>3,∴-2a<-6,-2a+
9
2
<-
3
2
,即t1-t2<-
3
2
;
(3)當2<a<3時,
若x≥a,則
1
a-2
•(x-2)
1
a-2
•(a-2)
=1;若x<a,則
1
a-3
•(x-3)
1
a-3
•(a-3)
=1,
f(t1)=
1
2
不符,此種情況不可能;
綜上所述,t1-t2的取值范圍是:(
3
2
,+∞
)∪(-∞,-
3
2
).
故答案為:(
3
2
,+∞
)∪(-∞,-
3
2
).
點評:本題考查一次函數(shù)的求值問題,考查分類討論思想、數(shù)形結合思想,思維含量較高,正確畫出函數(shù)圖象是解決問題的關鍵.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設a為實數(shù),設函數(shù)f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值為g(a).
(Ⅰ)設t=
1+x
+
1-x
,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)試求滿足g(a)=g(
1
a
)
的所有實數(shù)a

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
log
1-mx
x-1
a
為奇函數(shù),g(x)=f(x)+loga(x-1)(ax+1)( a>1,且m≠1).
(1)求m值;
(2)求g(x)的定義域;
(3)若g(x)在[-
5
2
,-
3
2
]
上恒正,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx
在[1,+∞)上是增函數(shù).
(1)求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)設b>0,a>1,求證:
1
a+b
<ln
a+b
b
a+b
b

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
a
-
1
x
(a≠0,x≠0).
(1)設F(x)=f(x)-a,且F(x)為奇函數(shù),求a的值;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

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