Question

13．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，b=1，且2cosC-2a-c=0．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）求△ABC外接圓的圓心到AC邊的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得a²+c²-1=-ac，由此能求出角B的大��；
（Ⅱ） 由正弦定理知$2R=\frac{sinB}=\frac{1}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，從而求出△ABC外接圓的半徑為R，由此能求出△ABC外接圓的圓心到AC邊的距離．

解答 解：（Ⅰ）由2cosC-2a-c=0，b=1，
結(jié)合余弦定理得：$\frac{{{a^2}+1-{c^2}}}{a}-2a-c=0$，（2分）
∴a²+c²-1=-ac，（3分）
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-1}}{2ac}=-\frac{1}{2}$，（5分）
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{2π}{3}$．（7分）
（Ⅱ） 設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，
由正弦定理知$2R=\frac{sinB}=\frac{1}{{sin\frac{2π}{3}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，（9分）
故$R=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，（10分）
則△ABC外接圓的圓心到AC邊的距離：
$d=\sqrt{{R^2}-{{（\frac{2}）}^2}}=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．（12分）

點評 本題考查角的大小的求法，考查三角形外接圓的圓心到邊的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦定理、余弦定理的合理運用．