Question

16．設(shè)函數(shù)$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^{1+{x^2}}}+\frac{1}{1+|x|}$，則使得f（2x-1）+f（1-2x）＜2f（x）成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． $（{-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，f（2x-1）+f（1-2x）=2f（2x-1），利用其函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^{1+{x^2}}}+\frac{1}{1+|x|}$，
由解析式可知，f（x）為偶函數(shù)且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
則f（2x-1）+f（1-2x）=2f（2x-1），
∴f（2x-1）+f（1-2x）＜2f（x）
?2f（2x-1）＜2f（x）
?f（2x-1）＜f（x）
?f（|2x-1|）＜f（|x|）
?$|{2x-1}|＞|x|?{|{2x-1}|^2}＞{|x|^2}?{（{2x-1}）^2}＞{x^2}?x＜\frac{1}{3}$或x＞1，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)之奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用能力和化解能力．屬于基礎(chǔ)題，