如圖,為圓的直徑,為垂直于的一條弦,垂足為,弦與交于點(diǎn).
(Ⅰ)證明:四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)證明:.
(Ⅰ)證明過程詳見解析;(Ⅱ)證明過程詳見解析.
【解析】
試題分析:本題考查四點(diǎn)共圓的判定和圓割線的性質(zhì).考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.第一問是證明四點(diǎn)共圓,證明四點(diǎn)共圓的基本方法:1.從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓,然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上,若能證明這一點(diǎn),即可肯定這四點(diǎn)共圓.2.若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等),從而即可肯定這四點(diǎn)共圓.3.把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形,若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí),即可肯定這四點(diǎn)共圓.4.把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點(diǎn)共圓(相交弦定理的逆定理);或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段,若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積,即可肯定這四點(diǎn)也共圓.(割線定理的逆定理)5.證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等,從而確定它們共圓.既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn),即可肯定這四點(diǎn)共圓.上述五種基本方法中的每一種的根據(jù),就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因,因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí),首先就要根據(jù)命題的條件,并結(jié)合圖形的特點(diǎn),在這五種基本方法中選擇一種證法,給予證明.第二問是等式的證明,這一問中遇到的圓割線的性質(zhì)(從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等)、相似三角形、勾股定理三式聯(lián)立,證明等式成立.
試題解析:(Ⅰ)連結(jié),則.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103123075812574874/SYS201310312308540147601567_DA.files/image003.png">,所以.
所以,即四點(diǎn)共圓. 5分
(Ⅱ)連結(jié).由四點(diǎn)共圓,所以.在中,,,所以. 10分
考點(diǎn):1.四點(diǎn)共圓的判斷;2.圓割線的性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆河北唐山市高三年級(jí)摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,為圓的直徑,為垂直于的一條弦,垂足為,弦與交于點(diǎn).
(Ⅰ)證明:四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三4月第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)理科試卷(解析版) 題型:填空題
(幾何證明選講選做題)如圖,為圓的直徑,為圓上一點(diǎn),
和過的切線互相垂直,垂足為,過的切線交過的切線于,
交圓于,若,,則= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省泉州四校高三第二次聯(lián)考考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
.(本題滿分12分)如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,,矩形的邊垂直于圓所在的平面,且,.
(1)求證:平面;
(2)設(shè)的中點(diǎn)為,求證:平面;
(3)求三棱錐的體積 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省晉江市四校高三第二次聯(lián)合考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,,矩形的邊垂直于圓所在的平面,且,.
(1)求證:平面;
(2)設(shè)的中點(diǎn)為,求證:平面;
(3)求三棱錐的體積 .
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