Question

已知函數(shù)，其中a是大于0的常數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，就是）求，可以通過(guò)對(duì)a分類(lèi)討論解決；
（2）可以構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)a∈（1，4）時(shí)通過(guò)導(dǎo)數(shù)法研究g（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為a是x的函數(shù)，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（1）由得，
     解得a＞1時(shí)，定義域?yàn)椋?，+∞）
     a=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞0且x≠1}，
     0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224945267050979/SYS201311012249452670509020_DA/5.png">或}
（2）設(shè)，當(dāng)a∈（1，4），x∈[2，+∞）時(shí)，
    恒成立，
∴在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴在[2，+∞）上的最小值為；
（3）對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
   即對(duì)x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而在x∈[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（2）=2，∴a＞2
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，（1）著重考查分類(lèi)討論思想；（2）著重考查復(fù)合函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性質(zhì)求最值，方法為導(dǎo)數(shù)法；（3）著重考查分離參數(shù)法，是一道好題．