Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓：上的一動點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 過點(diǎn)(，)的動直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解： (Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為，則由題設(shè)可知，解此方程組得
，.   所以橢圓C的方程是.     ………5分
(Ⅱ)解法一：假設(shè)存在點(diǎn)T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，
將它代入橢圓方程，并整理，得     
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，則    ……7分
因為及
所以

                          ……10分
當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，
所以解得
此時以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）.                         ……12分
當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點(diǎn)T（0，1）.
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（0，1），滿足條件.         ……14分
解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是      
由解得.
由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）.                      ……8分
事實(shí)上點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn). 證明如下：
當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，
過點(diǎn)T（0，1）；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為，則           ……11分
因為，

 
所以，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）.              ……13分
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（0，1）滿足條件.           ……14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析