已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
（1）；（2）.

試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據離心率求出的值，最后根據、、三者的關系求出的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）分兩種情況進行計算：第一種是在從點所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關系得到，并設從點所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關于的一元二次方程，利用得到有關的一元二次方程，最后利用以及韋達定理得到點的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標軸垂直的情況下求出點的坐標，并驗證點是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點的軌跡方程.
（1）由題意知，且有，即，解得，
因此橢圓的標準方程為；
（2）①設從點所引的直線的方程為，即，
當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設為、，則，
將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，
，
化簡得，即，
則、是關于的一元二次方程的兩根，則，
化簡得；
②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上.
綜上所述，點的軌跡方程為.的符號來進行轉化，計算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應用，屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點，G，H分別是線段ON，CN的中點．
（1）證明：直線EG與FH的交點L在橢圓W：上；
（2）設直線l：與橢圓W：有兩個不同的交點P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的左、右焦點分別為,，右頂點為A，上頂點為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點，經過點的直線與該圓相切與點M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓＋＝1與雙曲線－＝1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個公共點，則·＝(　　)
A．p2－m2B．p－mC．m－pD．m2－p2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C：＋＝1(b>0)，直線l：y＝mx＋1，若對任意的m∈R，直線l與橢圓C恒有公共點，則實數(shù)b的取值范圍是(　　)
A．[1,4)B．[1，＋∞)
C．[1,4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖），雙曲線過點P且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓心過點P，求的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線的準線與橢圓相切，且該切點與橢圓的兩焦點構成的三角形面積為2,則橢圓的離心率是（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合.
求橢圓的方程；
設橢圓的上頂點為，過點作橢圓的兩條動弦，若直線斜率之積為，直線是否一定經過一定點?若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，,
則（   ）
A．B．C．D．

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