Question

如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與函數(shù)y=3^x的圖象交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)B作y軸的垂線(xiàn)交函數(shù)y=9^x的圖象于點(diǎn)C，若AC恰好平行于y軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（log₃2，2）

．

Answer 1

分析：先設(shè)A（n，3ⁿ），B（m，3^m），則由過(guò)B作y軸的垂線(xiàn)交函數(shù)y=9^x的圖象于點(diǎn)C寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)A，B，O三點(diǎn)共線(xiàn)．利用斜率相等即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)A（n，3ⁿ），B（m，3^m），
由9^x=3^m=3^2x，即m=2x，
解得x=

m

2

，即C（

m

2

，3^m）．
∵AC平行于y軸，∴n=

m

2

，m=2n，
∴A（

m

2

，3ⁿ），B（m，3^m）．
又A，B，O三點(diǎn)共線(xiàn)．
∴k_OA=k_OB，
∴

3m

m

=

3n

m 2

=，∴3^m=2•3ⁿ=3²ⁿ，
即3ⁿ=2，
即n=log₃2，
∴3n=3log32=2，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（log₃2，2）．
故答案為：（log₃2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線(xiàn)的斜率公式、三點(diǎn)共線(xiàn)的判定方法等，綜合性較強(qiáng)．