Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+4a₂=1，a₃²=16a₂a₆．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，通過解方程組可求得a₁與q，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法可求得數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₃²=16a₂a₆得a₃²=16a₄²所以q²=

1

16

．
由條件可知q＞0，故q=

1

4

．                 
由a₁+4a₂=1得a₁+4a₁q=1，所以a₁=

1

2

．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=

1

22n-1

；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=-（2n-1），
所以

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，第二問難度有些大，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，這是數(shù)列求和常用的方法，此題是一道中檔題．