Question

如圖所示，正方體的棱長為1, 分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：

①平面平面；
②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最�。�
③四邊形周長，是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐的體積為常函數(shù)；
以上命題中真命題的序號為           。

Answer 1

①②④

試題分析：①連結(jié)，則由正方體的性質(zhì)可知，平面，所以平面平面，所以①正確；②連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022135707392.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，四邊形的對角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長度最小即可，此時(shí)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)長度最小，對應(yīng)四邊形的面積最小．所以②正確；③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022135816614.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形是菱形．當(dāng)時(shí)，的長度由大變�。�當(dāng)時(shí)，的長度由小變大．所以函數(shù)不單調(diào)．所以③錯(cuò)誤；④連結(jié)則四棱錐分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以為底，以分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022136160514.png" style="vertical-align:middle;" />的面積是個(gè)常數(shù)，到平面的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐的體積為常函數(shù)，所以④正確．所以選C．