Question

6．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，三邊a，b，c成等差數(shù)列，且B=$\frac{π}{6}$，則|cos A-cos C|的值為$\sqrt{1+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，由B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，把2b=a+c利用正弦定理化簡(jiǎn)，求出sinA+sinC的值，設(shè)cosA-cosC=x，兩式結(jié)合求出x²，開(kāi)方即可求出所求式子的值．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，且B=$\frac{π}{6}$，
∴2b=a+c，A+C=$\frac{5π}{6}$，
將2b=a+c利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=1，
設(shè)cosA-cosC=x，
可得（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=1+x²，
即sin²A+2sinAsinC+sin²C+cos²A-2cosAcosC+cos²C=2-2cos（A+C）=2+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2+$\sqrt{3}$=1+x²，
∴（cosA-cosC）²=x²=1+$\sqrt{3}$，
則cosA-cosC=$\sqrt{1+\sqrt{3}}$．
故答案為：$\sqrt{1+\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．