Question

如圖所示的鍍鋅鐵皮材料ABCD，上沿DC為圓弧，其圓心為A，圓半徑為2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．現(xiàn)要用這塊材料裁一個(gè)矩形PEAF（其中P在圓弧DC上、E在線段AB上，F(xiàn)在線段AD上）做圓柱的側(cè)面，若以PE為母線，問如何裁剪可使圓柱的體積最大？其最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：解法1：分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系xoy，設(shè)，圓柱半徑為r，體積為V，則，，從而可求體積，利用換元法，結(jié)合求導(dǎo)數(shù)，即可求得V的最大值；
解法2：設(shè)，則PE=2sinθ，AE=2cosθ，，從而可求體積，利用換元法，結(jié)合求導(dǎo)數(shù)，即可求得V的最大值．
解答：解法1：分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系xoy，
則圓弧DC的方程為：，
設(shè)，圓柱半徑為r，體積為V，則，
∵2πr=AE=x，∴，
∴=，
∴，
設(shè)t=x²∈（0，3]，u=t²（4-t），∴，
令u'=0，得，
當(dāng)時(shí)，u'＜0，u是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，u'＞0，u是增函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，u有極大值，也是最大值，
∴當(dāng)米時(shí)，V有最大值米³，此時(shí)米，
答：裁一個(gè)矩形，兩邊長分別為和，能使圓柱的體積最大，其最大值為m³．
解法2：設(shè)，則PE=2sinθ，AE=2cosθ，
由2πr=AE=2cosθ，得，
∴，
設(shè)，u=t（1-t²），，
令u'=0，得，
當(dāng)時(shí)，u'＜0，u是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，u'＞0，u是增函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，u有極大值，也是最大值．
∴θ=arcsin時(shí)，V有最大值米³．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是函數(shù)模型的構(gòu)建，屬于中檔題．