Question

7．某小區(qū)停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每車每次停車時(shí)間不超過2小時(shí)免費(fèi)，超過2小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)1元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．現(xiàn)有甲乙兩人獨(dú)立來停車場(chǎng)停車（各停車一次），且兩人停車時(shí)間均不超過5小時(shí)．設(shè)甲、乙兩人停車時(shí)間（小時(shí)）與取車概率如表所示．

	（0，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]
甲	$\frac{1}{2}$	x	x	x
乙	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	y	0

（1）求甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）首先求出x、y，個(gè)人停車所付費(fèi)用相同即停車時(shí)間相同：都不超過兩小時(shí)、都在兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)和都超過三小時(shí)且不超過四小時(shí)三類求解即可．
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5，由獨(dú)立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答 解：（1）由題意得$\frac{1}{2}+3x=1∴x=\frac{1}{6}$．
$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+y=1∴y=\frac{1}{2}$．
記甲乙兩人所付車費(fèi)相同的事件為A，P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{2}{9}$，
甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率為$\frac{2}{9}$．
（2）設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，ξ的所有取值為0，1、2，3，4，5．
P（ξ=0）=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{7}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
 P（ξ=4）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{12}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{7}{36}$+2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{6}+4×\frac{5}{36}+5×\frac{1}{12}=\frac{7}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立事件、互斥事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題．