Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.
(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n;
(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論

Answer 1

（1）b_n=3n－2（2）當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1?,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1

設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d,由題意得,∴b_n=3n－2
(2)證明：由b_n=3n－2知
 
S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)
=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］
而log_ab_n+1=log_a,于是，比較S_n與log_ab_n+1?的大小比較(1+1)(1+)…
(1+)與的大小.
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推測(cè)：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)
①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(^*)式成立.
②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
則當(dāng)n=k+1時(shí)，


,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(^*)式成立
由①②知，(^*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.
于是，當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1?,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1