Question

如圖正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

AP

=α

AB

+β

AF

(α，β∈R)，則α+β的取值范圍是（　　）

A．[3，4]

B．[3，5]

C．[2，4]

D．[4，5]

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定動(dòng)點(diǎn)P的可行域；寫出向量的坐標(biāo)，據(jù)已知條件中的向量等式得到α，β與x，y的關(guān)系代入點(diǎn)P的可行域得α，β的可行域，即可求出α+β的取值范圍

解答：解：建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則A（0，0），B（2，0），C（3，

3

），D（2，2

3

），E（0，2

3

），F(xiàn)（-1，

3

）
則EC的方程：x+

3

y-6=0；CD的方程：

3

x+y-4

3

=0；
因?yàn)镻是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則可行域?yàn)?span id="v7d7rt5" class="MathJye">

x+  3 y-6≥0 3 ≤y≤2 3 3 x+y-4 3 ≤0

     
又

AP

=α

AB

+β

AF

(α，β∈R)，
則

AP

=(x，y)，

AB

=(2，0)，

AF

=(-1，

3

)，
所以（x，y）=α（2，0）+β（-1，

3

）
∴x=2α-β，y=

3

β  
∴

(2α-β )+ 3β-6≥0 3 ≤ 3 β≤2 3 3 (2α-β )+ 3 β-4 3 ≤0

∴

α+β≥3 1≤β≤2 α≤2

∴3≤α+β≤4．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)建立直角坐標(biāo)系將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，通過(guò)線性規(guī)劃求出范圍．