Question

【題目】已知函數(shù)有兩個零點，，則下列判斷：①；②；③；④有極小值點，且.則正確判斷的個數(shù)是（ ）

A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個

Answer 1

【答案】D

【解析】

對函數(shù)求導得到函數(shù)的極值點進而得到a＞e，①不正確，先由函數(shù)單調(diào)性得到④正確，再推斷②③的正誤.

對函數(shù)求導：當a≤0時，f′（x）＝ex﹣a＞0在x∈R上恒成立，

∴f（x）在R上單調(diào)遞增．

當a＞0時，∵f′（x）＝ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，

∴f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增．

∵函數(shù)f（x）＝ex﹣ax有兩個零點x1＜x2，

∴f（lna）＜0，a＞e，

∴elna﹣alna＜0，∴a＞e，①不正確；

函數(shù)的極小值點為

要證，只要證

因為函數(shù)f（x）在（﹣∞，）單調(diào)遞減，故只需要證

構(gòu)造函數(shù)

求導得到

所以函數(shù)單調(diào)遞增，恒成立，

即，故得到

進而得證：，.故④正確.

又因為

根據(jù)，可得到.③不正確.

因為故②不確定.綜上正確的只有一個.

故答案為：D.