Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）為R上的增函數(shù)．

Answer 1

（1）解：由f（0）=0，得a=1，則f（x）=．
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又f（-x）===-=-f（x）．
所以a=1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：函數(shù)可化為，定義域?yàn)镽．
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-）-（a-）=．
因?yàn)閤₁＜x₂，所以-＜0，+1＞0，+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）為R上的增函數(shù)．
分析：（1）先由f（0）=0，得a=1，然后求出f（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再證明f（-x）=-f（x）即可；
（2）化函數(shù)為，再由函數(shù)單調(diào)性的定義證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問(wèn)題的基本方法．