Question

某廠家擬在2012年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（m≥0）滿足x=3-（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2012年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（I）求k的值，并求年促銷費(fèi)用為9萬元時(shí)，該廠的年產(chǎn)量為多少萬件？
（II）將2012年該產(chǎn)品的利潤y（萬元）表示為年促銷費(fèi)用m（萬元）的函數(shù)；
（Ⅲ）該廠家2012年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（I）由題意，不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件，知m=0時(shí)，x=1（萬件），
所以1=3-k，所以k=2
從而，當(dāng)m=9萬元時(shí)，x=2.8
綜上得，k=2，年促銷費(fèi)用為9萬元時(shí)，該廠的年產(chǎn)量為2.8萬件．

（II）由（I1）知，，又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元，
所以2012年的利潤為y==4+8x-m=28--m（m≥0）；
（Ⅲ）由（II）得，y=28--m=29-[+（m+1）]，
∵m≥0時(shí)，+（m+1）≥=8，∴y≤29-8=21，
當(dāng)且僅當(dāng)=m+1，即m=3（萬元）時(shí)取等號，此時(shí)，y_max=21（萬元）．
答：該廠家2012年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大值為21萬元．

分析：（I）利用不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件，可求k的值，從而可求年促銷費(fèi)用為9萬元時(shí)，該廠的年產(chǎn)量；
（II）確定每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，結(jié)合廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍，即可求得函數(shù)解析式；
（Ⅲ）利用基本不等式，即可求得最值．
點(diǎn)評：本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式．