Question

討論函數(shù)f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）的奇偶性與單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：按照奇偶性與單調(diào)性的定義進(jìn)行討論，注意要先求函數(shù)的定義域．

解答： 解：由題意，得

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
又∵f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)．
f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg[（1-x）（1-x）]=lg（1-x²）．
設(shè)x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0，
∴（1-x₁²）-（1-x₂²）=（x₂-x₁）（x₁+x₂）＜0，
即1-x₁²＜1-x₂²，
∴l(xiāng)g（1-x₁²）＜lg（1-x₂²），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞增．
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：判斷函數(shù)奇偶性，必須先求出定義域，單調(diào)性的判斷在定義域內(nèi)用定義判斷．