Question

已知雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)為，為動(dòng)點(diǎn)，若．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）若，設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與軌跡交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)．試問(wèn)：當(dāng)直線(xiàn)在變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線(xiàn)上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條定直線(xiàn)方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題意知：，又∵，∴動(dòng)點(diǎn)必在以為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，∴，又∵，．  

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，可設(shè)直線(xiàn)為：．

①     取得，直線(xiàn)的方程是

直線(xiàn)的方程是交點(diǎn)為    

若，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為

若點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則直線(xiàn)只能為．

②以下證明對(duì)于任意的直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)均在直線(xiàn)上．

事實(shí)上，由，得即，

記，則．

設(shè)與交于點(diǎn)由得

設(shè)與交于點(diǎn)由得

，           

∴，即與重合，

這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）取得，直線(xiàn)的方程是直線(xiàn)的方程是交點(diǎn)為

取得，直線(xiàn)的方程是直線(xiàn)的方程是交點(diǎn)為∴若交點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則直線(xiàn)只能為．

以下證明對(duì)于任意的直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)均在直線(xiàn)上．

事實(shí)上，由，得即，

記，則．

的方程是的方程是

消去得……………………………………   ①

以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。

要證明①式恒成立，只需證明

即證即證………………  ②

∵∴②式恒成立．

這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上．

解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．

記，則．

的方程是的方程是   

由得

即

    ．

這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上．