解析:假設(shè)存在f(n),使等式成立.
當(dāng)n=2時(shí),S1=f(2)(S2-1),
即1=f(2)(1+-1),解得f(2)=2.
當(dāng)n=3時(shí),S1+S2=f(3)(S3-1),即1+1+=f(3)(1++-1),∴f(3)=3.
猜想f(n)=n(n≥2).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),等式S1+S2+…+Sn-1=n(Sn-1)恒成立.
①當(dāng)n=2時(shí),由上面計(jì)算知,等式成立.
②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),等式成立,即
S1+S2+…+Sn-1=k(Sk-1),則
S1+S2+…+Sk-1+Sk=k(Sk-1)+Sk=(k+1)Sk-k=(k+1)(Sk+1-)-k
=(k+1)Sk+1-1-k=(k+1)(Sk+1-1),
即n=k+1時(shí),等式也成立.
由①②知,對(duì)一切n≥2,等式都成立.
故存在f(n)=n,使S1+S2+…+Sn-1=f(n)(Sn-1)對(duì)大于1的正整數(shù)n都成立.
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1 | an |
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Sn |
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