Question

（一）已知a，b，c∈R⁺，
①求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R⁺，
①求證：

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

．
②利用①的結論求

1

2x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)的最小值．

Answer 1

分析：（一）①從不等式的左邊入手，左邊對應的代數式的二倍，分別寫成兩兩相加的形式，在三組相加的式子中分別用均值不等式，整理成最簡形式，得到右邊的2倍，兩邊同時除以2，得到結果．
②由①得1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）從而求出ab+bc+ac的最大值；
（二）①利用分析法進行證明．要證

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

，只要證(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)≥(x+y)2左邊展開利用基本不等式證明即可；
②由①的結論知：

1

2x

+

9

1-2x

≥

(1+3)2

2x+1-2x

=16，從而求出最大值．

解答：證明：（一）①a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，…（3分）
三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac
當且僅當a=b=c時等號成立                  …（6分）
②1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
則ab+bc+ac≤

1

3

，當且僅當a=b=c時等號成立．    …（12分）
（二）①要證

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

，只要證(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)≥(x+y)2，…（3分）
則(

x2

a

+

y2

b

)(a+b)=x2+y2+

bx2

a

+

ay2

b

≥x2+y2+2xy=(x+y)2，
當且僅當bx=ay時等號成立．故原不等式得證．     …（6分）
②由①的結論知：

1

2x

+

9

1-2x

≥

(1+3)2

2x+1-2x

=16，
當且僅當x=

1

8

時，等號成立．                …（12分）

點評：本題考查均值不等式的應用，考查不等式的證明方法，是一個基礎題，這種題目常常考慮分拆后利用基本不等式，因為題目分拆后才符合均值不等式的表現形式．